En la presente tesis estudiamos un problema de control óptimo no-suave asociado a una ecuación que modela un fluido dilatante. Analizamos la diferenciabilidad direccional de una no linealidad no-suave presente en la ecuación de estado. Luego, analizamos la diferenciabilidad direccional del operador solución asociado a la ecuación de estado. Se establece una condición necesaria de optimalidad de primer orden, relacionada al concepto de estacionariedad de Bouligand, la cual se deduce de la diferenciabilidad del operador solución. Obtenemos un sistema de optimalidad correspondiente a un concepto de estacionariedad débil, mediante una regularización del problema de control óptimo y posterior paso al límite. Finalmente, obtenemos un sistema de optimalidad relacionado a un concepto de estacionariedad más fuerte, y demostramos que este concepto es equivalente a la estacionariedad de Bouligand, en el caso de nuestro problema de control óptimo. 

El objetivo del presente trabajo es el de obtener una estimación del error generado al aproximar  por el método de elementos finitos, un problema de control óptimo del tipo elíptico, cuyo funcional de costo posee un término no convexo. Dicho término regulariza localmente la cuasinorma $L^q$ (con $q\in (0,1)$). Nuestro estudio se fundamenta en la obtención del sistema de optimalidad, mediante la formulación del funcional de costo como diferencia de funciones convexas (DC), interviniendo para esta formulación una penalización de la norma $L^1$.

 Para la aproximación por el método de elementos finitos consideramos el espacio de las funciones continuas lineales a trozos para la discretización de la ecuación de la estado, y el espacio de las funciones constantes a trozos para la aproximación de los controles. Con lo cual, bajo ciertas condiciones establecidas para los parámetros de regularización del problema, obtenemos que la convergencia de nuestra aproximación puede alcanzar un orden lineal dependiente del parámetro de la malla.

 Finalmente, se ilustrará los resultados teóricos obtenidos con experimentos numéricos.

Hernán Alexander Nenjer Morillo, MS.c
Escuela Politécnica Nacional

In this talk we present a novel mathematical model that replicates to some extent how general roll-to-roll Nanoimprinting Lithography (R2R NIL)  manufacturing processes work. We start by identifying some of the current challenges and problems that manufacturers face towards higher throughput and control of the manufacturing process. Next, we describe and analyze the main physical phenomena that constitute a typical R2R NIL process and the typical material properties of the polymers used as coatings and formulate a mathematical model that complies with the laws of Physics. We then show some simulations that qualitatively reproduce several problems that are found in experiments even under linearizing assumptions to make the model amenable for numerical calculations. Finally, we will discuss the future work and some applications that can be done with this general framework presented.

Juan Pablo Constante Gómez
Texas A&M University